큰 수의 법칙 - 1,200회 로또 데이터로 증명하는 확률의 수렴

큰 수의 법칙이란?

큰 수의 법칙(Law of Large Numbers)은 확률론의 가장 기본적인 정리 중 하나입니다.

독립적인 시행을 충분히 많이 반복하면, 실제 결과의 비율은 이론적 확률에 수렴한다.

간단한 예: 공정한 동전을 던지면

• 10번: 앞면이 3번(30%) 또는 7번(70%) 나올 수 있음
• 100번: 앞면이 40~60번(40~60%) 범위에 거의 들어옴
• 1,000,000번: 앞면이 49.9~50.1% 범위에 거의 확실히 들어옴

시행 횟수가 늘어날수록 결과의 비율이 이론값(50%)에 가까워집니다.

로또 데이터로 검증하기

로또 6/45에서 각 번호가 뽑힐 이론적 확률:

6/45 = 13.33% (매 추첨에서 6개를 뽑으므로)

1,210회 추첨에서 각 번호의 이론적 기대 출현 횟수:

1,210 x 6/45 = 161.3회

실제 데이터 분석

1,210회 역대 데이터를 분석하면, 각 번호의 실제 출현 횟수는 약 148~195회 범위입니다.

• 이론값: 161회
• 실제 범위: 148~195회
• 편차율: 약 ±8~21%

아직 완벽한 수렴은 아니지만, 초기(100회 시점)에 비해 편차가 크게 줄어든 것을 확인할 수 있습니다.

시간에 따른 수렴 과정

100회차 시점에서의 편차와 1,200회차 시점에서의 편차를 비교하면:

• 100회차: 번호별 출현 비율이 8~19% 범위로 편차가 큼
• 500회차: 10~16% 범위로 좁아짐
• 1,200회차: 11~15% 범위로 더 좁아짐

이것이 큰 수의 법칙의 실제 작동입니다.

흔한 오해: "보상의 법칙"은 없다

큰 수의 법칙에 대한 가장 큰 오해:

"오래 안 나온 번호는 곧 나와서 평균을 맞출 것이다"

이것은 도박사의 오류입니다. 큰 수의 법칙은 이렇게 작동하지 않습니다.

올바른 이해:

• 100번째까지 앞면이 60번(60%) 나왔다고 합시다
• 다음 100번에서 정확히 50번(50%)이 앞면이라면
• 200번째까지의 비율: (60+50)/200 = 55%
• 편향이 60%에서 55%로 줄었지만, "보상"이 아니라 희석된 것

향후 추가 시행이 과거의 편향을 덮어쓰는(희석하는) 것이지, 되돌리는 것이 아닙니다.

표준편차와 신뢰구간

큰 수의 법칙의 수렴 속도는 표준편차로 측정할 수 있습니다.

n번 시행에서 비율의 표준편차:

σ = √(p(1-p)/n)

로또 각 번호의 출현 확률 p = 6/45 = 0.1333일 때:

• 100회차: σ = 3.40% → 95% 신뢰구간: 6.5~20.1%
• 500회차: σ = 1.52% → 95% 신뢰구간: 10.3~16.4%
• 1,210회차: σ = 0.98% → 95% 신뢰구간: 11.4~15.3%
• 10,000회차: σ = 0.34% → 95% 신뢰구간: 12.7~14.0%

시행 횟수가 100배 늘면 표준편차는 10배 줄어듭니다(√100 = 10). 이것이 수렴 속도입니다.

번호 선택에의 시사점

큰 수의 법칙이 번호 선택에 알려주는 것:

• 장기적으로 모든 번호의 출현 빈도는 수렴하지만, 그 과정은 매우 느림
• 현재 1,200회차에서도 번호간 최대 약 50회(약 30%)의 차이 존재
• 이 차이가 "비정상"인지 "정상 범위"인지는 표준편차로 판단 가능
• 통계적으로 유의미한 편향이 아니라면, 모든 번호는 동등하게 취급하는 것이 합리적

핵심 정리

• 큰 수의 법칙: 시행이 늘어나면 결과 비율이 이론적 확률에 수렴
• 로또 1,210회 데이터에서 이 수렴 과정을 실제로 확인 가능
• 수렴은 희석으로 일어나지, 보상으로 일어나지 않음
• 현재 편차(±8~21%)는 통계적으로 정상 범위

---

이 글은 AI 분석 도구의 도움을 받아 작성되었으며, 실제 당첨 데이터를 기반으로 합니다.