생일 역설과 로또 - 같은 번호가 반복될 확률은 얼마나 될까?

생일 역설이란?

생일 역설(Birthday Paradox)은 확률론에서 가장 유명한 직관에 반하는 결과 중 하나입니다.

질문: 같은 생일인 사람이 있을 확률이 50%가 되려면 몇 명이 모여야 할까?

직감적으로 183명(365일의 절반)이라고 생각하기 쉽지만, 정답은 놀랍게도 단 23명입니다.

핵심은 비교의 수(쌍의 수)에 있습니다.

사람 수가 늘어나면 쌍의 수는 훨씬 빠르게 증가합니다:

쌍의 수 = n(n-1)/2

23명이면 253개의 쌍이 생기고, 각 쌍이 생일이 같을 확률은 1/365입니다. 이 253번의 "시도"에서 적어도 한 번 일치할 확률이 약 50.7%가 됩니다.

로또 6/45의 가능한 조합 수는 8,145,060가지입니다.

생일 역설의 공식을 적용하면, 같은 당첨번호 조합이 적어도 한 번 반복될 확률이 50%가 되려면:

약 3,360회의 추첨이 필요합니다.

현재 로또 6/45는 약 1,210회 진행되었으므로, 아직 같은 번호가 반복될 확률은 약 8.6% 정도입니다. 낮지만 0%는 아닙니다!

생일 역설은 로또 구매자 간의 번호 충돌에도 적용됩니다.

매주 약 2,000만 장의 로또가 판매되는데, 가능한 조합은 814만 가지입니다. 이는 평균적으로 각 조합이 2~3장씩 판매된다는 뜻입니다.

실제로는 사람들이 특정 번호를 선호하므로(생일, 행운의 수 등), 인기 번호는 훨씬 더 많이 중복됩니다.

1,210회 역대 당첨번호를 분석해보면:

각 번호의 이론적 기대 출현 횟수: 1,210 x 6/45 = 약 161회

실제 출현 횟수가 148~195회 범위에 있다는 것은, 큰 수의 법칙에 의해 점차 평균에 수렴하고 있음을 보여줍니다.

생일 역설처럼 직관에 반하는 유명한 확률 문제로 몬티 홀 문제가 있습니다.

3개의 문 뒤에 자동차 1대와 염소 2마리가 있습니다. 당신이 1번 문을 선택하면, 진행자(정답을 아는)가 염소가 있는 3번 문을 열어줍니다.

바꾸는 게 유리할까, 그대로 있는 게 유리할까?

정답: 바꾸면 당첨 확률이 2/3로 올라갑니다. 직관적으로 이해하기 어렵지만, 진행자가 정보를 제공함으로써 확률 분포가 변하기 때문입니다.

로또와의 차이점: 로또는 아무도 추가 정보를 제공하지 않으므로, 번호를 바꾸든 그대로 두든 확률은 동일합니다.

이 글은 AI 분석 도구의 도움을 받아 작성되었으며, 실제 당첨 데이터를 기반으로 합니다.